Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

Đây là bài thứ 4 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình qua 2 ví dụ, bài tập cơ bản dưới đây. BĐT tỏ ra vô cùng hữu hiệu để giải các PT vô tỉ khó.

Bài 1:

Giải phương trình: $\displaystyle \left| {x-5} \right|+\left| {x-2} \right|=3$

Giải

áp dụng BĐT $|x|+|y| \geq|x+y|$

. Ta có

$|x-5|+|x-2|=|x-5|+|2-x| \geq|x-5+2-x|=3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle \left( {x-5} \right)\left( {2-x} \right)\le 0$ hay $\displaystyle 2\le \text{ }x\le 5$

Vậy phương trình có nghiệm với mọi x thoả mãn $\displaystyle 2\le \text{ }x\le 5$ .

Bài 2:

Giải phương trình: $\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}+\sqrt{5 x^{2}+10 x+14}=4-2 x-x^{2}$

Giải:

Ta có : $\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}=\sqrt{3\left(x^{2}+2 x+1\right)+4}=\sqrt{3(x+1)^{2}+4} \geq 2$

$\sqrt{5 x^{2}+10 x+14}=\sqrt{5\left(x^{2}+2 x+1\right)+9}=\sqrt{5(x+1)^{2}+9} \geq 3$

Suy ra: Vế trái = $\sqrt{3 x^{2}+6 x+7}+\sqrt{5 x^{2}+10 x+14} \geq 5$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle x=-1$ .

mà Vế phải = $4-2 x-x^{2}=-(x+1)^{2}+5 \leq 5$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle x=-1$

Vậy phương trình có nghiệm $\displaystyle x=-1$

Cùng chuyên đề: