Tính chất các phép toán về vectơ trong không gian

Các phép toán về vectơ trong môn Toán lớp 11 phần hình học không gian quan trọng mà học sinh lớp 11 cần ghi nhớ.

Cụ thể các em đọc kiến thức dưới đây.

1. Định nghĩa và các phép toán

– Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.

– Lưu ý:

+ Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{AC}}

+ Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AD}}=\overrightarrow{{AC}}

+ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có: \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{AA'}}=\overrightarrow{{AC'}}

+ Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có: \overrightarrow{{IA}}+\overrightarrow{{IB}}=\vec{0}; \overrightarrow{{OA}}+\overrightarrow{{OB}}=2\overrightarrow{{OI}}

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

– Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

– Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ \vec{a},\vec{b},\vec{c}, trong đó không cùng phương. Khi đó: \vec{a},\vec{b},\vec{c} đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: \vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}

– Cho ba vectơ \vec{a},\vec{b},\vec{c} không đồng phẳng, \vec{x} tuỳ ý.

Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: \vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}

3. Tích vô hướng của hai vectơ

– Góc giữa hai vectơ trong không gian:

\overrightarrow{A B}=\vec{u} ; \overrightarrow{A C}=\vec{v} ;(\vec{u}, \vec{v})=\overrightarrow{B A C} \quad 0 \leq \overrightarrow{B A C} \leq 180

– Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho \vec{u},\vec{v}\ne \vec{0}. Khi đó: \vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|.\cos (\vec{u},\vec{v})

+ Với \vec{u}=\vec{0} hoặc \vec{v}=\vec{0}. Quy ước: \vec{u}.\vec{v}=0

+ \vec{u}\bot \vec{v}\Leftrightarrow \vec{u}.\vec{v}=0

Hình học 11 - Tags: ,