Phương trình bậc hai – Hệ thức Vi-ét

Đây là bài thứ 6 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Cách giải PT bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. Áp dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán liên quan.

Lên lớp 9 các em được học về phương trình bậc hai và định lý Vi-ét. Một dang toán quan trọng bắt buộc trong chương trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Khái niệm phương trình bậc

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: $a x^{2}+b x+c=0$
. Với
+ $x$
là ẩn số
+ $a, b, c$
là các số đã biết sao cho: $a ≠ 0$
+ $a, b, c$
là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của $x$ (theo phương trình trên thì $a$ là hệ số bậc hai, $b$ là hệ số bậc một, $c$ là hằng số hay số hạng tự do).

Cách giải PT bậc 2

Giải phương trình bậc 2 có dạng: $a x^{2}+b x+c=0$

theo biệt thức delta (Δ)

Đặt $\displaystyle\Delta=b^{2}-4 a c$

+ Nếu $\displaystyle\Delta<0$ thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.

+ Nếu $\displaystyle\Delta=0$ thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép $x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2 a}$

+ Nếu $\displaystyle\Delta>0$ thì phương trình bậc 2 có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$

$\displaystyle {{{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-b+\sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}}$

$\displaystyle {{{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{\Delta }}}{{2a}}=\frac{{-b-\sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}}$

Định lý Vi-ét cho phương trình bậc 2

Công thức Vi-ét hay hệ thức Vi-ét nói về quan hệ giữa các nghiệm của PT bậc 2 với các hệ số của nó.

Nếu $\displaystyle {{{x}_{1}}}$ và $\displaystyle {{{x}_{2}}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ thì:

$\displaystyle\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2} &=S=-\frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} &=P=\frac{c}{a} \end{aligned}\right.$

Một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2

Cho PT bậc 2: $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,(a\ne 0)$
Nếu $a + b + c = 0$ thì Phương trình có hai nghiệm $x_{1}=1 ; x_{2}=\frac{c}{a}$ ;
Nếu $a - b + c = 0$ thì Phương trình có hai nghiệm $x_{1}=-1 ; x_{2}=-\frac{c}{a}$
Nếu $ac < 0$ ( $a, c$ trái dấu nhau) thì Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Chúng ta áp dụng các trường hợp trên để tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2.

Ví dụ về cách tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2

– Tính nhẩm xét xem $\displaystyle (a+b+c=0)$ hoặc $\displaystyle (a-b+c=0)$ :

Ví dụ 1: Giải các PT sau

a) $x^{2}-3 x+1=0$ có hai nghiệm $\displaystyle x=1,x=\frac{1}{2}$ vì $\displaystyle a+b+c=2+(-3)+1=0$

b) $3x^{2}+4 x+1=0$ có hai nghiệm $\displaystyle x=-1,x=-\frac{1}{3}$ vì $\displaystyle a-b+c=3-4+1=0$

– Tính nhẩm dựa vào tổng $\displaystyle \left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}} \right)$ và tích $\displaystyle \left( {{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}} \right)$ các hệ số $a, b, c$

Ví dụ 2: Giải các PT sau

a) $x^{2}-8 x+12=0$ có hai nghiệm $x=2, x=6$ vì $\displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=3.4=12=2.6$ và $\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-(-8)=8=2+6$