Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn

Đây là bài thứ 8 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Cách nhận biết, phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 có hai ẩn x, y qua các ví dụ và bài tập có lời giải.

Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng ta định nghĩa về PT đối xứng như sau:

Phương trình \displaystyle n

ẩn \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},\text{ }...,{{x}_{n}} gọi là đối xứng với \displaystyle n ẩn nếu thay \displaystyle {{x}_{i}} bởi \displaystyle {{x}_{j}};~{{x}_{j}} bởi \displaystyle {{x}_{i}} thì phương trình không thay đổi.

– Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\text{ }...\text{ }+{{x}_{n}}

\displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+\text{ }...\text{ }+{{x}_{1}}{{x}_{n}}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+\text{ }...\text{ }+{{x}_{n-1}}{{x}_{n}}

………………………….

\displaystyle {{x}_{1}}{{x}_{2}}...{{x}_{n}}

I. Hệ phương trình đối xứng loại 1

– Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

– Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.

* Nếu đa thức \displaystyle F\left( x \right)\text{ }={{a}_{0}}{{x}^{n}}~+{{a}_{1}}{{x}^{n}}^{-1}+...{{a}_{n}},{{a}_{0}}\ne \text{ }0,{{a}_{i}}\in P

 có nghiệm trên \displaystyle P là \displaystyle {{c}_{1}},\text{ }...,{{c}_{n}} thì:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...\text{ }+{{c}_{n}}=-\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}\\{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{3}}+\text{ }...\text{ }+{{c}_{1}}{{c}_{n}}+{{c}_{2}}{{c}_{1}}+{{c}_{2}}{{c}_{3}}+...\text{ }+{{c}_{n-1}}{{c}_{n}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{0}}}\\...............................\\{{c}_{1}}{{c}_{1}}\text{ }...\text{ }{{c}_{n}}={{(-1)}^{n}}.\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{0}}}\end{array} \right.

(Định lý Viét tổng quát)

1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\text{ }=-\frac{b}{a}\\P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\end{array} \right.

Ngược lại, nếu 2 số x1, x2  có \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\text{ }{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=S\\\text{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=P\end{array} \right.

 thì \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}} là nghiệm của phương trình \displaystyle {{X}^{2}}-SX\text{ }+P=\text{ }0.

2. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn có dạng:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\\g(x,y)=0\end{array} \right.

, trong đó \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=f(y,x)\\g(x,y)=g(y,x)\end{array} \right..

3. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 có 2 ẩn

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P{{S}^{2}}\ge 4P

.

Bước 3: Thay \displaystyle x,y

 bởi \displaystyle S,P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm \displaystyle S,P rồi dùng Viét đảo tìm \displaystyle x,y.

Chú ý:

+ Cần nhớ: \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{S}^{2}}\text{ }2P,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{S}^{3}}\text{ }3SP.

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ \displaystyle u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)

 và \displaystyle S=u+v,\text{ }P\text{ }=uv.

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

4. Bài tập giải hệ PT đối xứng loại 1

– Loại 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=30\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=35\end{array} \right.

.

GIẢI

Đặt \text{S}=x+y,\text{ P}=xy

, điều kiện {{S}^{2}}\ge 4P. Hệ phương trình trở thành:

\left\{ \begin{array}{l}SP=30\\S({{S}^{2}}-3P)=35\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{30}{S}\\S\left( {{S}^{2}}-\frac{90}{S} \right)=35\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=5\\P=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+y=5\\xy=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}x=3\\y=2\end{array} \right.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}xy(x-y)=-2\\{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=2\end{array} \right.

.

GIẢI

Đặt t=-y,\text{ }S=x+t,\text{ }P=xt

, điều kiện {{S}^{2}}\ge 4P. Hệ phương trình trở thành:

\left\{ \begin{array}{l}xt(x+t)=2\\{{x}^{3}}+{{t}^{3}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP=2\\{{S}^{3}}-3SP=2\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=2\\P=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\t=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-1\end{array} \right.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=4\end{array} \right.

.

GIẢI

Điều kiện x\ne 0,y\ne 0

.

Hệ phương trình tương đương với: \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}=8\end{array} \right.

Đặt S=\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right),P=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right),{{S}^{2}}\ge 4P

 ta có:

\left\{ \begin{array}{l}S=4\\{{S}^{2}}-2P=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=4\\P=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( x+\frac{1}{x} \right)+\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\\\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)=4\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1\end{array} \right.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\,\,\text{ }(1)\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\text{ }\,\,\,\,\text{ }\,\text{ }\,\text{ }(2)\end{array} \right.

.

GIẢI

Điều kiện x,y\ge 0

. Đặt t=\sqrt{xy}\ge 0, ta có:

xy={{t}^{2}}

 và (2)\Rightarrow x+y=16-2t.

Thế vào (1), ta được: \sqrt{{{t}^{2}}-32t+128}=8-t\Leftrightarrow t=4

Suy ra: \left\{ \begin{array}{l}xy=16\\x+y=8\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=4\\y=4\end{array} \right.

– Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

+ Bước 2: Đặt \displaystyle S=x+y,P=xy

 với điều kiện của \displaystyle S,P và (*)

+ Bước 3: Thay \displaystyle x,y

 bởi \displaystyle S,P vào hệ phương trình.

Giải hệ tìm \displaystyle S,P

 theo \displaystyle m rồi từ điều kiện (*) tìm \displaystyle m.

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ \displaystyle u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)

 và \displaystyle S=u+v,P=uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của \displaystyle u,v.

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array} \right.

GIẢI

Điều kiện x,y\ge 0

 ta có:

\left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\{{(\sqrt{x})}^{3}}+{{(\sqrt{y})}^{3}}=1-3m\end{array} \right.

Đặt S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge 0,P=\sqrt{xy}\ge 0

, {{S}^{2}}\ge 4P. Hệ phương trình trở thành:

\left\{ \begin{array}{l}S=1\\{{S}^{3}}-3SP=1-3m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=1\\P=m\end{array} \right.

.

Từ điều kiện S\ge 0,P\ge 0,{{S}^{2}}\ge 4P

 ta có 0\le m\le \frac{1}{4}.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện \displaystyle m

 để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=m\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9\end{array} \right. có nghiệm thực.

Giải

\left\{ \begin{array}{l}x+y+xy=m\\{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=3m-9\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x+y)+xy=m\\xy(x+y)=3m-9\end{array} \right.

.

Đặt \displaystyle S\text{ }=\text{ }x\text{ }+\text{ }y,\text{ }P\text{ }=\text{ }xy,

 Hệ phương trình trở thành: \left\{ \begin{array}{l}S+P=m\\SP=3m-9\end{array} \right..

Suy ra \displaystyle S

 và \displaystyle P là nghiệm của phương trình {{t}^{2}}-mt+3m-9=0.

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S=3\\P=m-3\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{l}S=m-3\\P=3\end{array} \right.

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{3}^{2}}\ge 4(m-3)\\{{(m-3)}^{2}}\ge 12\end{array} \right.\Leftrightarrow m\le \frac{21}{4}\vee m\ge 3+2\sqrt{3}

.

Loại  3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.

Ví dụ. Giải phương trình: \displaystyle \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}\text{ }=\frac{3}{2}

.

Giải

Đặt: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{x}=u\\\sqrt[3]{1-x}=v\end{array} \right.

. Vậy ta có hệ: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\{{u}^{3}}+{{v}^{3}}=1\end{array} \right.

⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v=\frac{3}{2}\\(u+v)\left[ {{(u+v)}^{2}}-3uv \right]=1\end{array} \right.

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u+v\text{ }=\frac{3}{2}\\u.v\text{ }=\frac{19}{36}\end{array} \right.

u, v là hai nghiệm của phương trình: \displaystyle {{X}^{2}}-\frac{3}{2}X\text{ }+\frac{19}{36}\text{ }=\text{ }0

⇒ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}u\text{ }=\frac{9+\sqrt{5}}{12}\\u\text{ }=\frac{9\text{ }-\text{ }\sqrt{5}}{12}\end{array} \right.

 ⇒ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }{{\left( \frac{9\text{ }+\text{ }\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}}\\x\text{ }=\text{ }{{\left( \frac{9\text{ }-\text{ }\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}}\end{array} \right.

Vậy phương trình có hai nghiệm: \displaystyle \left\{ x \right\}

 = \displaystyle \left\{ {{\left( \frac{9+\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}};\text{ }{{\left( \frac{9-\sqrt{5}}{12} \right)}^{3}} \right\}.

II. Hệ phương trình đối xứng loại 2 có 2 ẩn

A. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn có dạng:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}f(x,y)=0\,\,\,\left( 1 \right)\\f(y,x)=0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.

B. Cách giải hệ PT đối xứng loại 2 có 2 ẩn

Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được: \displaystyle (x-y)g\left( x,y \right)=0

.

Khi đó \displaystyle x-y=0

 hoặc \displaystyle g\left( x,y \right)=0.

+ Trường hợp 1: \displaystyle x-y=0

 kết hợp với phương trình  hoặc  suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2: \displaystyle g\left( x,y \right)=0

 kết hợp với phương trình  suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.

C. Ví dụ giải hệ PT đối xứng loại 2 có lời giải

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}=3x+8y\,\,\,\left( 1 \right)\\{{y}^{3}}=3y+8x\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.

 (I)

GIẢI

Lấy (1) – (2) ta được: \displaystyle \text{(x - y)(}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + xy + }{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{ + 5) = 0}

Trường hợp 1: (I) \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }=\text{ }3x\text{ }+\text{ }8y\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{3}}\text{ }-\text{ }11x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x\text{ }=\text{ }0\\x\text{ }=\text{ }\pm \sqrt{11}\end{array} \right.\\x\text{ }=\text{ }y\end{array} \right.

.

Trường hợp 2: (I) \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+5=0\\{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=11\left( x+y \right)\end{array} \right.

 (hệ này vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

\displaystyle \left\{ \text{(x}\text{, y)} \right\}\text{=}\left\{ \text{(0}\text{,0); (}\sqrt{\text{11}}\text{,}\sqrt{\text{11}}\text{); (-}\sqrt{\text{11}}\text{,-}\sqrt{\text{11}}\text{)} \right\}

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt[4]{y-1}=1\\y+\sqrt[4]{x-1}=1\end{array} \right.

Giải

Đặt: \displaystyle \sqrt[\text{4}]{\text{x - 1}}\text{ = u }\ge \text{0; }\sqrt[\text{4}]{\text{y - 1}}\text{ = v}\ge \text{0}

Hệ phương trình trở thành:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }1\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }1\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{4}}\text{ }+\text{ }v\text{ }=\text{ }0\\{{v}^{4}}\text{ }+\text{ }u\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.

⇔ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}u\text{ }=\text{ }0\\v\text{ }=\text{ }0\end{array} \right.

(Do u, v ≥ 0) \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x = 1}\\\text{y = 1}\end{array} \right.

.

Vậy hệ có nghiệm (1,1)

Cùng chuyên đề:

<< Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúngHệ phương trình bậc nhất chứa tham số >>

Đại số 9 - Tags: , , , ,