1. Chuyển vế thì đổi dấu. 2. Nhân (hoặc chia) hai vế cho cùng số dương được BĐT cùng chiều. 3. Nhân (hoặc chia) hai vế cho cùng số âm được BĐT ngược chiều. 4. Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức mà hai vế cùng dấu được BĐT ngược chiều. 5. Cộng […]
Series: Bất đẳng thức
Chuyên đề bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh BĐT, tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), tìm giá trị lớn nhất (GTLN) thường dùng.
Lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
Học bất đẳng thức có khó không, tất nhiên là khó rồi. Từ trước tới nay chứng minh BĐT là dạng toán chỉ dành cho học sinh khá, giỏi. Và các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường nằm ở câu cuối đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, trong đề thi […]
Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức
Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy BĐT đã được chứng minh. Đó là phương pháp biến đổi tương đương. * Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương tổng quát: Để chứng minh A > B ta dùng các […]
Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
Sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình qua 2 ví dụ, bài tập cơ bản dưới đây. BĐT tỏ ra vô cùng hữu hiệu để giải các PT vô tỉ khó. Bài 1: Giải phương trình: Giải áp dụng BĐT . Ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay Vậy […]
Một số bất đẳng thức phụ hay dùng
Dưới đây là một số bất đẳng thức phụ thường được sử dụng trong chứng minh các bài toán BĐT trong chương trình THCS. với với với Dấu xảy ra ⇔ với với với Dấu xảy ra ⇔
Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?
Chúng ta thường chọn điểm rơi khi áp dụng BĐT Cosi để chứng minh bất đẳng thức khi đề bài cho các số dương. Điểm rơi ở đây chính là giá trị của biến làm dấu bằng xảy ra. Dự đoán dấu “=”? Các dấu hiệu nhận biết thường thấy: – Nếu biểu thức có […]
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến
Phương pháp đổi biến tỏ ra vô cùng hữu dụng với một số bài tập chứng minh bất đẳng thức. Cách đổi biến để chứng minh BĐT như nào? Trong số các cách chứng minh bất đẳng thức cần phải học thì kỹ thuật đổi biến được sử dụng rất nhiều. Và dưới đây là […]
Bất đẳng thức Schur với t=1. Các kết quả hay sử dụng
Chia sẻ một số bất đẳng thức Schur dùng trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức hay và khó trong chương trình Toán trung học cơ sở. Các bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Schur khi t=1 là: 1) 2) 3) 4) 5) Đặt (thầy Phạm Văn Tuyên tổng hợp)
Sử dụng biểu thức phụ để tìm cực trị của biểu thức
Khi tìm cực trị của biểu thức gặp khó khăn ta có thể nghĩ tới việc sử dụng biểu thức phụ, khi phân tích biểu thức phụ dễ hơn. Cách làm như sau: Để tìm cực trị của biểu thức với , ta có thể xét cực trị của biểu thức: ( là hằng số) […]
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp ghép cặp
Phương pháp ghép cặp là một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức hay được sử dụng trong nhiều bài toán chứng minh BĐT. Cách làm chung là khéo léo thêm bớt, ghép các số lại với nhau sao cho áp dụng được bất đẳng thức Cosi để giải. Theo dõi các ví […]
Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thức
Chúng ta có thể làm các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp Cosi ngược dấu. Dưới đây là một số ví dụ minh họa của phương pháp này:
Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ
Phương pháp chung để chứng minh bài toán bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ mà các em được học từ lớp 10. Ta có: với và bởi , do đó:. Ứng dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức Bài toán 1: Cho ABC, CMR: cosA + cosB + cosC . Giải Thiết lập […]
Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng
Bất đẳng thức Côsi hay bđt Cauchy là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với học sinh THCS và THPT ở nước ta. Bất đẳng thức Côsi có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ngoài ra bất đẳng thức […]
Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng
Bất đẳng thức Bunhiacopxki được sử dụng rất nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở bậc trung học cơ sở. Ở bài viết này Gia sư Tiến Bộ chia sẻ các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản hay dùng và đặc biệt. 1) Các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ […]
Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020
Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi vào lớp 10 chuyên Toán các tỉnh thành phố trong cả nước năm học 2020 – 2021. Tác giả: Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An. Vậy là một mùa tuyển sinh vào 10 nữa lại đi qua với sự […]
Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)
Bất đẳng thức Svac-xơ hay bất đẳng thức cộng mẫu số là bất đẳng thức được sử dụng khá nhiều trong chứng minh BĐT có liên quan tới phân số. Bài viết này hướng dẫn cách chứng minh BĐT Svac-xơ dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki. Chứng minh bất đẳng thức cộng mẫu số – […]