Cách tính nguyên hàm phân thức

Dạng bài tập tính nguyên hàm của phân thức là dạng bài khá cơ bản mà các em học sinh được học ở môn Toán lớp 12.

Hàm phân thức có các công thức tính riêng, chỉ cần áp dụng là có thể làm được dạng bài này.

Công thức nguyên hàm phân thức

$\displaystyle \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x+a} d x=\ln |x+a|+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{x-a} d x=\ln |x-a|+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{k x+a} d x=\frac{1}{k} \ln |k x+a|+C$

$\displaystyle \int \frac{1}{k x-a} d x=\frac{1}{k} \ln |k x-a|+C$

Cách tính nguyên hàm phân thức

Bài tập 1. Cho $\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-5)}+\frac{C}{(x+4)}$ . Khi đó tổng S = A + B + C bằng

A. $\displaystyle \frac{1}{18}$

B. $\text{[math]}$

C. $\displaystyle \frac{1}{14}$

D. $-\frac{1}{63}$

Giải:

$\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-5)}+\frac{C}{(x+4)}$

$\displaystyle \Rightarrow A(x-5)(x+4)+B(x+2)(x+4)+C(x+2)(x-5)=1$

$+) x=-2 \Rightarrow-14 A=1$

$\displaystyle \Rightarrow A=-\frac{1}{14}$

$+) x=5 \Rightarrow 63 B=1$

$\displaystyle \Rightarrow B=\frac{1}{63}$

$+) x=-4 \Rightarrow 18 C=1$

$\displaystyle \Rightarrow C=\frac{1}{18}$

$\displaystyle \Rightarrow A+B+C=0$

⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2. Tìm $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-3 x+2}$ là:

A. $\displaystyle \ln \frac{1}{x-2}-\ln \frac{1}{x-1}+C$

B. $\displaystyle \ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C$

C. $\displaystyle \ln \left|\frac{x-1}{x-2}\right|+C$

D. $\displaystyle \ln (x-2)(x-1)+C$

Giải:

$\displaystyle \int \frac{d x}{x^{2}-3 x+2}=\int \frac{d x}{(x-1)(x-2)}$

$=\int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right) d x$

$=\ln |x-2|-\ln |x-1|+C$

$=\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|+C$

⇒ Chọn đáp án B.

Bài tập 3. Cho $\displaystyle I=\int{{\frac{{5-3x}}{{\left( {{{x}^{2}}-5x+6} \right)\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)}}}}dx=\frac{a}{{x-1}}-\ln \left| {\frac{{x-b}}{{x-2}}} \right|+C$ . Khi đó $P = 2a + b$ bằng:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Giải:

$\displaystyleI=\int \frac{\left(x^{2}-5 x+6\right)-\left(x^{2}-2 x+1\right)}{\left(x^{2}-5 x+6\right)\left(x^{2}-2 x+1\right)} d x=\int \frac{d x}{(x-1)^{2}}-\int \frac{d x}{(x-2)(x-3)}$

$\displaystyle=\int \frac{d x}{x^{2}-2 x+1}-\int \frac{d x}{x^{2}-5 x+6} \quad I=\int(x-1)^{-2} d x-\int\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}\right) d x$

$\displaystyle=\frac{x^{-1}}{-1}-(\ln |x-3|-\ln |x-2|)+C$

$\displaystyle=\frac{-1}{x-1}-\ln \left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C$

⇒ Chọn đáp án B.

Bài tập 4. Cho $I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x=a \ln |x+1|-\frac{1}{x}+b \ln | x+c$ . Khi đó $P = 2(a + b)c$ bằng

A. 2 B. −2 C. 1 D. 0

Giải:

$I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x+1)} d x=\int \frac{x^{2}+(x+1)-x}{x^{2}(x+1)} d x$

$=\int\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x(x+1)}\right) d x$

$=\int\left[\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\right] d x$

$=\int\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right] d x$

$=2 \ln |x+1|-\frac{1}{x}-\ln |x|+C$

$\displaystyle \Rightarrow a=2, b=-1, c=0 \Rightarrow P=0$

Suy ra $a=-1 ; b=3 \Rightarrow P=2 a+b=1$

⇒ Chọn đáp án D.

Bài tập 5. Tìm hàm số f(x)= x² + ax + ln |bx+ 1| + c biết $\displaystyle {{f}^{\prime }}(x)=\frac{{4{{x}^{2}}+4x+3}}{{2x+1}}$ và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)³.c bằng