Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ

Đây là bài thứ 12 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Phương pháp chung để chứng minh bài toán bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ mà các em được học từ lớp 10.

Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.c\text{os}\alpha ,$

với $\alpha =(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}),$

và bởi $\left| c\text{os}\alpha \right|\le 1$

, do đó: $\left| \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right|\le \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$ .

Ứng dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1: Cho $\Delta$ ABC, CMR: cosA + cosB + cosC $\le \frac{3}{2}$ .

Giải

Thiết lập các vectơ đơn vị $\overrightarrow{{{e}_{1}}}$ , $\overrightarrow{{{e}_{2}}}$ , $\overrightarrow{{{e}_{3}}}$ trên các cạnh AB, BC, AC của $\Delta$ ABC, ta được:

$\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-B)=-\cos B,$

$\overrightarrow{{{e}_{2}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{2}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{3}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-C)=-\cos C,$

$\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}=\left| \overrightarrow{{{e}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{e}_{3}}} \right|.c\text{os}({{180}^{0}}-A)=-\cos A,$

Mặt khác ta luôn có:

${{(\overrightarrow{{{e}_{1}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}+\overrightarrow{{{e}_{3}}})}^{2}}={{\overrightarrow{{{e}_{1}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{{e}_{2}}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{{e}_{3}}}}^{2}}+2(\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}}+\overrightarrow{{{e}_{2}}}.\overrightarrow{{{e}_{3}}}+\overrightarrow{{{e}_{1}}}.\overrightarrow{{{e}_{2}}})$

$=3+2(-\cos B-\cos C-\cos A)\ge 0$

$\Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C\le \frac{3}{2}$ , đpcm.

Bài toán 2: Cho $\Delta$ ABC, CMR: $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\ge -\frac{3}{2}$ .

Giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ ABC, ta nhận được:

$\begin{array}{l}2A=(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}),\\2B=(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}),\\2C=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}),\end{array}$

Mặt khác:

$\displaystyle {{(\overrightarrow{{OA}}+\overrightarrow{{OB}}+\overrightarrow{{OC}})}^{2}}={{\overrightarrow{{OA}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{OB}}}^{2}}+{{\overrightarrow{{OC}}}^{2}}+2(\overrightarrow{{OA}}.\overrightarrow{{OB}}+\overrightarrow{{OB}}.\overrightarrow{{OC}}+\overrightarrow{{OC}}.\overrightarrow{{OA}})$

$\displaystyle =3{{\text{R}}^{2}}+2({{\text{R}}^{2}}.c\text{os}2C+{{\text{R}}^{2}}c\text{os}2A+{{\text{R}}^{2}}c\text{os}2B)\ge 0$

⇔ $\displaystyle c\text{os}2A+c\text{os}2B+c\text{os}2C\ge -\frac{3}{2}$ (đpcm)

Bài toán 3: Chứng minh $\displaystyle \forall x,y\in R$ , ta có: $\displaystyle \left| \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2)}}} \right|\le \frac{1}{2}$ (*)

Giải

Ta có (*) $\displaystyle \Leftrightarrow \left| \frac{x(1-{{y}^{2}})+y(1-{{x}^{2}})}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})} \right|\le \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left| \left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right) \right|\le 1$

Đặt:

$\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}},\frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right)\\\vec{b}=\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}},\frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right)\end{array}$

Suy ra : $\displaystyle \left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{b}} \right|=1$

Mà $\displaystyle \left| \vec{a}.\vec{b} \right|\le \left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|$ . Vậy $\displaystyle \left| \vec{a},\vec{b} \right|\le 1$ (đpcm).

Bài toán 4:

Cho ba số $\displaystyle x,$ $\displaystyle y,$ $\displaystyle z$ thỏa hệ thức $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=xy+yz+xz.$ Chứng minh rằng $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx)\ge 0.$

Giải

Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho các vectơ :

$\displaystyle \vec{u}=(x,y,z),$ $\displaystyle \vec{v}=(y,z,x)$

Vì $\displaystyle \vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\cos (\vec{u},\vec{v})$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle xy+yz+xz=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\cos (\vec{u},\vec{v}).$

Mặt khác ta có $\displaystyle xy+yz+zx={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ nếu $\displaystyle \cos (\vec{u},\vec{v})=1$ nghĩa là $\displaystyle \vec{u}$ và $\displaystyle \vec{v}$ cùng hướng. Vì $\displaystyle \left| {\vec{u}} \right|=\left| {\vec{v}} \right|$ do đó $\displaystyle \vec{u}=\vec{v}$ nghĩa là $\displaystyle x=y=z$ .

Do đó ta có:

$\displaystyle 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx).$

Bài toán 5: Cho bốn số thực tùy ý ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}$ . Chứng minh:

$\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}$

Giải

Xét các vectơ: $\overrightarrow{u}=({{a}_{1}},{{a}_{2}});\overrightarrow{v}=({{b}_{1}},{{b}_{2}})\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=({{a}_{1}}+{{b}_{1}},{{a}_{2}}+{{b}_{2}})$

Áp dụng : $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|$ $\Rightarrow$ $\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}$

Đẳng thức xảy ra khi $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{b}_{2}}={{a}_{2}}.{{b}_{1}}$

Bài toán 6: Cho 6 số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = 6

Chứng minh rằng: $\sqrt{16{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{x}^{2}}}+\sqrt{16{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{y}^{2}}}+\sqrt{16{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{z}^{2}}}\ge 10$

HD: Đặt $\overrightarrow{u}=(4a,\text{ax});\overrightarrow{v}=(4b,by);\overrightarrow{\text{w}}=(4c;cz)$

Bài tập

Bài 1: Cho $\Delta$ ABC, CMR: $\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}\le \frac{3}{2}$ .

Bài 2: CMR:

a) $\sum\limits_{i=1}^{n}{c\text{os}\frac{2(i-1)\pi }{n}=0}$ .

b) $\sum\limits_{i=1}^{n}{\sin \frac{2(i-1)\pi }{n}}=0$

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $f=x+\sqrt{2-{{x}^{2}}}+x.\sqrt{2-{{x}^{2}}}$

Bài 4: Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z $\le$ 1

Chứng minh rằng: $\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge \sqrt{82}$

Bài 5: (Đại học khối B 2006). Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\left| y-2 \right|$

Bài 6: Cho ba số thực x, y, z tùy ý. Chứng minh:

$\sqrt{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+xz+{{z}^{2}}}\ge \sqrt{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}$

Cùng chuyên đề:

<< Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thứcBất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng >>

Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ

Phương pháp chung để chứng minh bài toán bất đẳng thức bằng cách sử dụng vectơ mà các em được học từ lớp 10.

Ứng dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức

Bài tập

Giải phương trình vô tỉ bằng vectơ hóa

Công thức lượng giác cần nắm vững

Sổ tay Văn học 11

Ứng dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức