Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa

I. Phương pháp 1

Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ:

– Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

${{a}^{m}}>{{a}^{n}}$

(a >1) ⇔ m > n

– Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .

${{a}^{n}}>{{b}^{n}}$

(n > 0) ⇔ a > b

II. Phương pháp 2

Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:

A > B và B > C thì A > C

A.C < B.C (với C > 0) ⇔ A < B

Để hiểu rõ về các phương pháp trên các em xem ví dụ có lời giải dưới đây.

Ví dụ 1: So sánh:

a, $\displaystyle {{99}^{{20}}}$

và $\displaystyle {{9999}^{{10}}}$ b, $\displaystyle {{2}^{{300}}}$ và $\displaystyle {{3}^{{200}}}$ c, $\displaystyle {{3}^{{500}}}$ và $\displaystyle {{7}^{{300}}}$ d, $\displaystyle {{8}^{5}}$ và $\displaystyle {{3.4}^{7}}$

Hướng dẫn:

a, Ta có: $\displaystyle {{99}^{{20}}}={{\left( {{{{99}}^{2}}} \right)}^{{10}}}<{{\left( {99.101} \right)}^{{10}}}={{9999}^{{10}}}$

b, Ta có: $\displaystyle {{2}^{{300}}}={{\left( {{{2}^{3}}} \right)}^{{100}}}={{8}^{{100}}}$ và $\displaystyle {{3}^{{200}}}={{\left( {{{3}^{2}}} \right)}^{{100}}}={{9}^{{100}}}$ ,

Mà: $\displaystyle {{8}^{{100}}}<{{9}^{{1000}}}=>{{2}^{{300}}}<{{3}^{{200}}}$

c,Ta có : $\displaystyle {{3}^{{500}}}={{\left( {{{3}^{5}}} \right)}^{{100}}}={{143}^{{100}}}$ và $\displaystyle {{7}^{{300}}}={{\left( {{{7}^{3}}} \right)}^{{100}}}={{343}^{{100}}}$ ,

Mà : $\displaystyle {{143}^{{100}}}<{{343}^{{100}}}=>{{3}^{{500}}}<{{7}^{{300}}}$

d, Ta có : $\displaystyle {{8}^{5}}={{\left( {{{2}^{3}}} \right)}^{5}}={{2}^{{15}}}={{2.2}^{{14}}}<{{3.2}^{{14}}}=3.{{\left( {{{2}^{2}}} \right)}^{7}}={{3.4}^{7}}$ , Vậy $\displaystyle {{8}^{5}}<{{3.4}^{7}}$

Ví dụ 2: So sánh :

a, ${{27}^{{11}}}$ và ${{81}^{8}}$ b, ${{625}^{5}}$ và ${{125}^{7}}$ c, ${{5}^{{36}}}$ và ${{11}^{{24}}}$ d, ${{3}^{{2n}}}$ và ${{2}^{{3n}}}$

Hướng dẫn:

a, Ta có : ${{27}^{{11}}}={{3}^{{33}}};{{81}^{8}}={{3}^{{32}}}$

b, Ta có : ${{625}^{5}}={{5}^{{20}}};{{125}^{7}}={{5}^{{21}}}$

c, Ta có : ${{5}^{{36}}}={{125}^{{12}}};{{11}^{{24}}}={{121}^{{12}}}$

d, Ta có : ${{3}^{{2n}}}={{9}^{n}};{{2}^{{3n}}}={{8}^{n}}$

Ví dụ 3: So sánh :

a, ${{5}^{{23}}}$ và ${{6.5}^{{22}}}$ b, ${{199}^{{20}}}$ và ${{2003}^{{15}}}$ c, ${{3}^{{99}}}$ và ${{11}^{{21}}}$

Hướng dẫn:

a, Ta có: ${{5}^{{23}}}={{5.5}^{{22}}}<{{6.5}^{{22}}}$

b, Ta có: ${{199}^{{20}}}<{{200}^{{20}}}={{\left( {8.5} \right)}^{{20}}}={{2}^{{60}}}{{.5}^{{40}}}$ và ${{2003}^{{15}}}>{{2000}^{{15}}}={{\left( {{{2}^{4}}{{{.5}}^{3}}} \right)}^{{15}}}={{2}^{{60}}}{{.5}^{{45}}}$