Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

Đây là bài thứ 11 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Có thể giải phương trình bậc 2 bằng đồ thị. Biện luận sự có nghiệm của PT bậc 2 bằng sự tương giao của 2 đồ thị y=ax^2 và y=mx+n.

Để biện luận nghiệm của PT bậc hai chúng ta cần nhớ lại kiến thức dưới đây.

Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị

Để giải phương trình bậc hai a x^{2}+b x+c=0

(tức là a x^{2}=-b x-c) bằng đồ thị, ta vẽ parabol \displaystyle y=a x^{2} và đường thắng y = -bx – c trong cùng một hệ trục toạ độ, rồi xác định hoành độ các giao điểm của chúng (nếu có).

– Nếu đường thẳng cắt parabol tại hai điểm (hình a) thì phương trình có hai nghiệm (trường hợp này ứng với Δ > 0).

– Nếu đường thẳng không giao với parabol (hình b) thì phương trình vô nghiệm (trường hợp này ứng với Δ < 0).

– Nếu đường thẳng tiếp xúc với parabol (hình c) thì phương trình có nghiệm kép (trường hợp này ứng với Δ = 0).

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

*Chú ý:

Một đường thẳng gọi là tiếp xúc với parabol nếu nó có một điểm chung duy nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng (hình c). Ở hình d, đường thẳng x = m

cũng chỉ có một điểm chung với parabol nhưng ta không gọi là tiếp xúc với parabol.

Vị trí tương đối giữa parabol \displaystyle y=a x^{2} (a ≠ 0) và đường thẳng \displaystyle y = mx + n

Xét phương trình

a x^{2}=m x+n

tức là a x-m x-n=0                       (1)

Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có Δ > 0.

Đường thẳng không giao với parabol ⇔ (1) có Δ < 0.

Đường thẳng tiếp xúc với parabol ⇔ (1) có Δ = 0.

Ví dụ 1. Cho parabol \displaystyle y=a x^{2}

 tiếp xúc với đường thẳng y = x – 1,

a)   Xác định hệ số a ;

b)  Tìm toạ độ tiếp điểm của đường thẳng và parabol;

c)   Vẽ parabol và đường thẳng nói trên cùng một hê trục toạ độ.

Giải

a) Điều kiện để parabol \displaystyle y=a x^{2}

tiếp xúc với đường thẳng \displaystyle y = x - 1 là phương trình a x^{2}=x-1 (1) có nghiệm kép.

(1) <=>a x^{2}-x+1=0

\Delta=1-4 a

Điều kiện đễ phương trình (1) có nghiệm kép là

a \neq 0 \text { và } \Delta=0<\Rightarrow a \neq 0 \text { và } 1-4 a=0<=>a=\frac{1}{4}

b) Hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình

\frac{1}{4} x^{2}-x+1=0

Giải phương trình trên ta có

\displaystyle {{{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow {{{(x-2)}}^{2}}=0}

\displaystyle {\Leftrightarrow x=2}

Với x=2

thì \displaystyle y=\frac{1}{4} \cdot 2^{2}=1

Toa độ của tiếp điểm A là (2; 1)

.

c) Xem hình vẽ.

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

Ví dụ 2. Cho parabol \displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2}

a) Chứng minh rằng đường thẳng \displaystyle y=2 x-2\left(d_{1}\right)

 tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm.

b) Cho biết điều kiện để hai đường thẳng \displaystyle y = ax + b

\displaystyle y = a'x + b' vuông góc với nhau là aa' = -1. Xác định tiếp tuyến d_{2} của parabol sao cho d_{1} \perp d_{2}.

c) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d_{1}

 và d_{2}.

d) Chứng minh rằng giao điểm các tiếp tuyến của parabol mà vuông góc với nhau nằm trên đường thẳng \displaystyle y=-\frac{1}{2}

.

Giải:

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

d)  Xét hai đường thẳng y = ax b và y = a’x + b’ vuông góc với nhau (aa’ = -1). Trước hết ta tìm toạ độ của giao điểm hai đường thẳng đó.

Biện luận nghiệm của phương trình bậc 2 bằng đồ thị

Bài tập vị trí tương đối giữa parabol \displaystyle y=ax^2 và đường thẳng y=mx+n

Bài 1: Cho parabol \displaystyle y=x^{2}

. Xác định hệ số n để đường thẳng \displaystyle y = 2x + n tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm.

Bài 2: Cho parabol \displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2}

 và đường thẳng \displaystyle y = mx + n.

Xác định các hệ số m

n để đường thẳng đi qua điểm A(-l ; 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm.

Bài 3: Cho parabol \displaystyle y=\frac{x^{2}}{4}

. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-l ; -2) và tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm.

Bài 4: Cho parabol \displaystyle y=x^{2}

 và đường thẳng \displaystyle y = x + n.

a) Với giá trị nào của n thì đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt ?

b) Xác định toạ độ giao điểm của parabol và đường thẳng nếu n = 2

.

Bài 5: Vẽ đồ thị của hàm số \displaystyle y=x^{2}+1+\left|x^{2}-1\right|

.

Bài 6: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị :

a) 2 x^{2}-1=|x-2|

;                                           b) x^{2}-4|x-1|+4=0

Bài 7: Cho hàm số: \displaystyle y=a x^{2}

a) Xác định a và vẽ đồ thị của hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm (2 ; 2)

.

b) Gọi A, B là các giao điểm của parabol nói ở câu a) với đường thẳng \displaystyle y=\frac{1}{2}x+3

. Tìm toạ độ của A, B và tính diện tích tam giác OAB.

Bài 8: Cho parabol \displaystyle y=x^{2}

 và đường thẳng \displaystyle y = 2x + n.

a)  Biện luận theo n về số giao điểm của parabol với đường thẳng.

b) Vẽ parabol và đường thẳng trong trường hợp đường thẳng tiếp xúc với parabol.

Bài 9: Cho đường thẳng \displaystyle y = 2x - 1

(d).

a)  Xác định a sao cho parabol \displaystyle y=a x^{2}

 tiếp xúc với d. Tìm toạ độ của tiếp điểm.

b) Xác định m và n sao cho đường thẳng \displaystyle y = mx + n

đi qua điểm A(3 ; 2) và vuông góc với d (hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu tích hai hệ số góc bằng -1).

Bài 10: Cho parabol  \displaystyle y=-x^{2}

a)  Chứng minh rằng đường thẳng \displaystyle y=2 x+1\left(d_{1}\right)

 tiếp xúc với parabol. Tìm toạ độ của tiếp điểm.

b) Cho biết hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu tích hai hệ số góc bằng -1

. Xác định tiếp tuyến d_{2} với parabol nói trên sao cho d_{2} \perp d_{1}.

c) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d_{1}

d_{2}.

d) Chứng minh rằng giao điểm của các tiếp tuyến với parabol mà vuông góc với nhau nằm trên một đường thẳng song song với trục hoành.

Bài 11: Bằng đồ thị, giải các bất phương trình sau :

a) x^{2}<4

;                               b) x^{2}-x-2<0.
Cùng chuyên đề:

<< Cách chứng minh bất đẳng thức trong đề thi vào 10 môn ToánCác dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình >>

Đại số 9 - Tags: , ,