Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng

Đây là bài thứ 13 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Côsi hay bđt Cauchy là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với học sinh THCS và THPT ở nước ta.

Bất đẳng thức Côsi có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ngoài ra bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi là bất đẳng thức AM-GM.

Học sinh trung học cơ sở làm quen với bất đẳng thức Cosi từ lớp 8 và sử dụng nhiều ở lớp 9 trong các bài điểm 10.

1) Dạng tổng quát của bất đẳng thức Côsi

Cho \displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\ldots {{x}_{n}} là các số thực dương ta có:

– Dạng 1: \displaystyle \frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{n}}}}{n}\ge \sqrt{{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdots {{x}_{n}}}}

– Dạng 2: \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{n}}\ge n\cdot \sqrt[n]{{{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdots }}

– Dạng 3: \displaystyle {{\left( {\frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots +{{x}_{n}}}}{n}} \right)}^{n}}\ge {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdots {{x}_{n}}

– Dạng 4: \displaystyle \frac{1}{{{{x}_{1}}}}+\frac{1}{{{{x}_{2}}}}+\ldots +\frac{1}{{{{x}_{n}}}}{}^\text{3}\frac{{{{n}^{2}}}}{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots {{x}_{n}}}}

– Dạng 5: \displaystyle \left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\ldots {{x}_{n}}} \right)\left( {\frac{1}{{{{x}_{1}}}}+\frac{1}{{{{x}_{2}}}}+\ldots +\frac{1}{{{{x}_{n}}}}} \right)\ge {{n}^{2}}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\cdots ={{x}_{n}}

2) Dạng đặc biệt của bất đẳng thức Côsi

Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát ở trên khi n=2, n=3.

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi)

3) Hệ quả của bất đẳng thức Côsi

+ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy;2\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\ge {{\left( {x+y} \right)}^{2}};\sqrt{{2\left( {x+y} \right)}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}

+ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy\ge \frac{{3{{{\left( {x+y} \right)}}^{2}}}}{4}

+ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx

+ \displaystyle 3\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)\ge {{\left( {x+y+z} \right)}^{2}}\ge 3\left( {xy+yz+zx} \right)

+ \displaystyle {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{y}^{2}}\ge xyz\left( {x+y+z} \right)+3\left( {{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}} \right)\ge {{\left( {xy+yz+zx} \right)}^{2}}\ge 3xyz\left( {x+y+z} \right)

4) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Khi chứng minh bất đẳng thức áp dụng Cô si các em phải xác định giá trị của biến bằng bao nhiêu thì dấu bằng xảy ra, giá trị đó là điểm rơi. Nếu không xác định đúng mà đã vội áp dụng BĐT Cauchy thì sẽ dẫn đến việc làm sai bài toán.

5) Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi

Dưới đây là lời giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dựa vào bất đẳng thức Côsi và các hệ quả.

Tiếp theo là các kỹ thuật trong khi áp dụng BĐT Cosi là:

– Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân,

– Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Côsi

– Kỹ thuật thêm bớt

– Kỹ thuật Côsi ngược dấu

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tậpBất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

Bất đẳng thức Cauchy (Côsi) và bài tập

* Download (click vào để tải về): Tài liệu học Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) dưới đây.

Cùng chuyên đề:<< Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơBất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng >>

Chú ý:

Nếu không download được tài liệu các bạn vui lòng tải trên máy tính hoặc comment bên dưới hoặc  liên hệ qua email giasutienbo.com@gmail.com. Xin cảm ơn!

1 Comment

Add a Comment

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *