Bài tập nâng cao: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỷ số lượng giác góc nhọn

Đây là bài thứ 12 of 14 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 9

Câu 1. Cho $M$

là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật $ABCD$

. Chứng minh rằng $MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}$

Câu 2. Cho tứ giác $ABCD$

có $\widehat{D}+\widehat{C}=90^{0}$ . Chứng minh rằng $AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}$ .

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Lấy $D$ thuộc cạnh $AC$ , điểm $E$ thuộc tia đối của tia $HA$ sao cho $\dfrac{{AD}}{{AC}}=\dfrac{{HE}}{{HA}}=\dfrac{1}{3}$ . Chứng minh rằng $\widehat{{BED}}=90^{0}$ .

Câu 4. Cho hình vuông $ABCD$

. Qua $A$ vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh $BC$ và $CD$ (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm $E$ và $F$ .Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{{AE^{2}}}+\dfrac{1}{{AF^{2}}}=\dfrac{1}{{AD^{2}}}$

Câu 5. Cho hình thoi $ABCD$

với $\widehat{A}=120^{0}$ . Tia $Ax$ tạo với tia $AB$ góc $\widehat{{BAx}}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh $BC$ tại $M$

, cắt đường thẳng $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{{AM^{2}}}+\dfrac{1}{{AN^{2}}}=\dfrac{4}{{3AB^{2}}}$ .

Câu 6. Cho tam giác cân $ABC$ , $\widehat{A}=20^{0},AB=AC,AC=b,BC=a$ . Chứng minh rằng: $\displaystyle a^{3}+b^{3}=3ab^{2}$ .

Câu 7. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $BC=a,AC=b,AB=c$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{{\sin A}}=\dfrac{b}{{\sin B}}=\dfrac{c}{{\sin C}}$ .

Câu 8. Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AC=b,AB=c$ . Chứng minh rằng: $\sin \dfrac{A}{2}\le \dfrac{a}{{b+c}}$ .

Câu 9. Cho góc vuông $xOy$ và điểm $A$ cố định thuộc tia $Oy$ , điểm $B\in Ox$ sao cho $OA=OB$ . Điểm $M$

chạy trên tia $Bx$ . Đường vuông góc với $OB$ tại $B$ cắt $AM$ ở $I$ . Chứng minh tổng $\dfrac{1}{{AI^{2}}}+\dfrac{1}{{AM^{2}}}$ không đổi.

Câu 10. Cho hình thang vuông $\displaystyle ABCD$ có $\displaystyle \widehat{A}=\widehat{D}=90^{o},AB=9cm,CD=16cm,BC=25cm$ . Điểm $E$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BE=AB$